Фамилия Беренкова — женская форма, мужская — Беренков. Она образована по самой распространённой в русском языке модели: к основе прозвища или имени добавили суффикс -ов, означающий принадлежность («чей?» — сын Беренка). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Беренко́ва.

Разбирать фамилию стоит с её корня. В основе лежит слово «берендей» или «берендейка». В древнерусском языке берендеи — это тюркское кочевое племя, которое в XI–XIII веках жило в южнорусских степях и служило наёмниками у русских князей. Позже слово стало бытовым: «берендейкой» называли игрушку-свистульку, а в некоторых говорах — несерьёзного, суетливого человека. В. И. Даль в своём словаре фиксирует «берендей» как прозвище для того, кто «балясничает, занимается пустяками». Однако есть и другая версия: в рязанских и тамбовских говорах «берендей» означало «затейник, выдумщик». В таком случае прозвище могло быть нейтральным или даже уважительным — так могли назвать мастера-игрушечника или человека с живым умом.

Мужская форма фамилии — Беренков — встречается в документах с XVII века. В «Ономастиконе» С. Б. Веселовского упоминается Беренков Иван, крестьянин из новгородских земель (около 1600 года). Это указывает на то, что фамилия бытовала не только в южных областях, но и на севере Руси, куда прозвище могли принести переселенцы или служилые люди.

Что касается сословной принадлежности, то Беренковы не были дворянским родом — фамилия не попала в «Бархатную книгу» или другие родословные сборники. Скорее всего, это крестьянская или посадская фамилия: прозвище давали в быту, а затем оно закрепилось за потомками. В XIX веке Беренковы записаны среди государственных крестьян и мещан в Тверской, Ярославской и Московской губерниях.

Интересная деталь: в некоторых регионах фамилию могли записать как Берендяев или Берендеев — это однокоренные варианты, но с разными суффиксами. Беренкова стоит особняком именно благодаря суффиксу -к- в основе: Беренко — это уменьшительная или обиходная форма от Берендей. Такая модель (с -ко) типична для украинского и южнорусского влияния: в Северо-Восточной Руси чаще образовывали фамилии на -ов от полных прозвищ, а южные говоры любили усечённые формы. Так что, возможно, предки носительницы фамилии были выходцами из чернозёмных областей или Запорожья, где «берендей» звучало как Беренко.

Таким образом, фамилия Беренкова — не про сказочного царя из пьесы Островского, а про реального человека, которого в быту прозвали за характер или занятие: то ли он был суетливым балагуром, то ли резчиком игрушек. Никакой тайны, но живая история, уходящая в степные кочевья и средневековые русские деревни.