Фамилия Беринчик — один из тех случаев, когда за привычным славянским суффиксом скрывается еврейская основа. Главная версия происхождения связывает её с мужским именем Берин, которое само по себе является уменьшительной формой от двух разных имён: Бер (с идиша — «медведь») и Бери (Бээри, с иврита — «мой колодец»). Имя Бери встречается в Танахе: так звали отца пророка Гошеа (Осии). Суффикс -чик в данном контексте — не столько славянский профессиональный (как в «перевозчик»), сколько уменьшительно-ласкательный, типичный для еврейских фамилий Восточной Европы. Он присоединялся к основе, чтобы передать значение «маленький», «младший» или просто «сын такого-то». Поэтому фамилию Беринчик можно буквально перевести как «маленький Берин» или «потомок Берина».

Интересно, что в еврейской ономастике суффикс -чик встречается реже, чем привычные -сон/-зон или -ман, что делает эту фамилию заметной на фоне однокоренных. Например, от того же имени Бер образованы фамилии Берман, Беренсон, Берович, но Беринчик стоит особняком: здесь нет указания на род занятий или место жительства, только на личное имя предка. По модели образования фамилия близка к таким примерам, как Мендчик (от Мендель) или Вольчик (от Вольф). Сословно носители фамилии, скорее всего, относились к еврейскому мещанству или ремесленникам черты оседлости — на территориях современных Украины, Беларуси и Польши такие фамилии фиксировались в метрических книгах XIX века.

Других версий происхождения, например от славянского корня «бер» (брать) или топонима, практически нет: фамилия слишком плотно привязана к именной еврейской традиции, а суффикс -чик в славянских фамилиях обычно указывает на профессию, а не на личное имя. Так что если ваша фамилия Беринчик, с высокой вероятностью ваш предок носил имя Бер или Бери, а уменьшительная форма закрепилась за его потомками как семейное прозвище.