Фамилия Бешлюев — редкая и неочевидная с точки зрения корня. Если отбросить суффикс -ев (который указывает на принадлежность: «чей?» — Бешлюев, то есть сын Бешлюя), остаётся основа Бешлюй. Вот с ней и главная сложность: в русских говорах и документах такое слово не фиксируется как распространённое прозвище.

Самая вероятная версия — тюркское происхождение. Основа «беш» в тюркских языках означает «пять». В сочетании с «люй» (или «луй») это может быть искажённое имя или прозвище. Например, у башкир, татар или казахов встречаются составные имена с числительными, обозначавшие пятого ребёнка в семье или человека, родившегося в пятый день недели. Суффикс -ев говорит о том, что фамилия обрусела довольно давно, скорее всего, в среде служилых татар или крещёных народов Поволжья.

Вторая версия, менее правдоподобная, но возможная — связь с диалектным глаголом «бешлять» (суетиться, метаться). В этом случае Бешлюй — прозвище непоседливого, беспокойного человека. Однако у этой гипотезы слабая опора: глагол редкий, а фамилии от него практически не встречаются.

География фамилии узкая. Бешлюевы встречаются в основном на Южном Урале и в Западной Сибири — в Оренбургской, Челябинской областях, а также в Казахстане. Это косвенно подтверждает тюркский след: именно в этих краях оседали башкирские и татарские роды, принимавшие православие и получавшие фамилии по отцу.

Словообразовательная модель простая: основа + патронимический суффикс -ев. Такие фамилии в XIX веке давали либо по имени отца (Бешлюй → Бешлюев), либо по прозвищу. Сословно носители фамилии, скорее всего, были государственными крестьянами или казаками — дворянских родов с такой фамилией в исторических списках нет.

Коротко: Бешлюев — фамилия с тюркским корнем, скорее всего, от числительного «пять». Предки — выходцы из тюркской среды, обрусевшие несколько веков назад.