Фамилия Беспаментов — один из тех случаев, когда написание сбивает с толку, а корень оказывается неожиданным. На первый взгляд кажется, что в основе лежит слово «память»: «беспамятный», то есть забывчивый, рассеянный человек. Логика вроде бы есть: прозвище Беспамятный или Беспамятов мог получить тот, кто всё терял или вечно всё забывал. Но в фамилии Беспаментов суффикс -ов указывает на притяжательность (чей? — Беспаментов), а вот корень здесь, скорее всего, не от «память», а от «памент».

«Памент» в южнорусских и украинских говорах — это фундамент, основание, каменная кладка. Слово заимствовано из греческого (через церковнославянский) или из польского (fundament). Прозвище Беспаментный могли дать плотнику или строителю, который работал без должной основы, клал фундамент на глазок или небрежно. В переносном смысле — человек без твердой опоры, неустойчивый, но это значение вторично. Таким образом, Беспаментов — это «сын беспаментного», то есть человека, прозванного за небрежность в строительстве или за отсутствие прочного «памента» в характере.

Встречается фамилия в основном в южных регионах России, на Кубани и в бывших казачьих областях, где диалектное «памент» было в ходу. В центральных и северных говорах слово не прижилось, поэтому там фамилия могла переосмысляться как «беспамятный» — и это нормальный процесс народной этимологии, когда непонятное слово подгоняют под знакомое. В документах XVIII—XIX веков можно найти варианты Беспамятов и Беспаментов, причем второй вариант встречается реже и как раз выдает диалектную основу.

Сравните с однокоренными: Паментов, Паменов (от той же основы «памент») и Бесфундаментов — последняя фамилия, хоть и редкая, подтверждает, что строительная тема в прозвищах существовала. Унбегаун в «Русских фамилиях» упоминает группу фамилий от прозвищ, связанных с ремеслом и качеством работы, но Беспаментов не разбирает отдельно — скорее всего, из-за локального распространения. Версия с «памятью» проигрывает: суффикс -ов в фамилии Беспаментов указывает на основу на твердый согласный, а «память» дала бы Беспамятов (с «я»), и такие варианты действительно есть, но это другая фамилия.

Так что если вы Беспаментов, ваши предки, скорее всего, жили на юге и имели дело со строительством — либо как нерадивые мастера, либо как люди, получившие прозвище за отсутствие «фундамента» в прямом или переносном смысле.