Фамилия Бессмолкина — женская форма фамилии Бессмолкин. Её основа — прозвище Бессмолка, которое в XVI–XVII веках могли дать человеку говорливому, несдержанному на язык, тому, кто «не смолкает». Корень здесь тот же, что в глаголе «смолкнуть» — замолчать, перестать говорить. Приставка «без-» (церковнославянский вариант «бес-») в таких прозвищах работала как усилитель: «Бессмолка» — буквально «никогда не смолкающий». Так что предок носительницы фамилии, скорее всего, был балагуром, спорщиком или просто человеком с неуёмной речью.

Модель образования фамилии — типичная для северных и центральных областей России. Суффикс «-ин» указывает на принадлежность: «чей сын?» — Бессмолкин, то есть сын Бессмолки. В отличие от фамилий на «-ов» (от имён и прозвищ на твёрдый согласный), «-ин» крепится к основам на «-а/-я». Такая модель особенно распространена в новгородских, вятских и архангельских землях. Если искать географию, фамилия Бессмолкин (и Бессмолкина) встречается в основном в Волго-Вятском регионе и на Урале — там, где в XVII–XVIII веках активно заселялись выходцы из Поморья.

Интересная деталь: в русских говорах слово «смолка» имело и другое значение — так называли смолистое вещество, древесную смолу. Теоретически прозвище Бессмолка могло относиться к человеку, который не имел дела со смолой (например, не был смолокуром). Но это объяснение слабее: приставка «без-» в старых русских прозвищах почти всегда описывала черту характера или внешности, а не отсутствие профессии. Сравните с фамилиями Бессонов, Бессмертный, Бесстрашный — все они о свойствах человека, а не о ремесле.

Встречается и вариант написания через «з» — Безсмолкина. Это более архаичная, дореволюционная форма, где приставка «без-» не оглушалась перед глухим «с». В современных документах закрепился вариант «Бессмолкина», но в метрических книгах XIX века можно найти обе записи. Это не ошибка, а отражение живой фонетики того времени.

Если ваша фамилия Бессмолкина — значит, в роду был человек с ярким, несмолкающим нравом. Прямой этимологии «молчаливая» или «тихая» здесь нет: предок был ровно наоборот.