Фамилия Бейникова — женская форма от Бейников, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель на -ов/ев типична для русских фамилий, образованных от прозвищ или мирских имён. Основа здесь — «Бейник». Это слово в русских говорах могло означать человека, который «бьёт» или «бойко» действует, но конкретное значение уходит корнями в прозвища от глагола «бить». Скорее всего, предка так прозвали за драчливый нрав, задиристость или за работу, связанную с ударом — молотобойца, кузнеца или даже палача. В некоторых диалектах «бейник» — это «драчун», «забияка», что прямо указывает на характер.

Есть и вторая, менее очевидная версия. В южнорусских и украинских говорах «бійник» или «бейник» — это небольшой сосуд для масла или дёгтя, а в некоторых местах так называли деревянный молоток (киянку). Тогда прозвище могло перейти на ремесленника, работающего с таким инструментом, или на торговца маслом. Эта гипотеза правдоподобнее первой, потому что прозвища от предметов быта в русской ономастике встречаются чаще, чем прямые характеристики характера, хотя и не исключают друг друга.

Фамилия редкая, встречается в основном в центральных областях России и в Поволжье, где были сильны смешанные русско-татарские влияния. Интересно, что корень «бей» в тюркских языках означает «господин», «князь», но в фамилии Бейникова суффикс -ник указывает на русскую, а не тюркскую модель словообразования, поэтому связь с титулом маловероятна. Скорее всего, перед нами чисто славянское прозвище, которое закрепилось за родом в XVI–XVII веках и дошло до нас в форме фамилии.