Фамилия Безайкин — одна из тех, где разбор начинается не с корня, а с вопроса: откуда взялось сочетание «без-»? В русских фамилиях приставка без- встречается нечасто и почти всегда указывает на прозвище, описывающее человека через отсутствие чего-то: Безрукий, Безбородов, Безобразов. Безайкин, скорее всего, стоит в этом же ряду.

Основа «зайк-» явно восходит к слову «зайка» — ласковому или уменьшительному обозначению зайца. Человек мог получить прозвище Безайка: либо за трусость (заячья душа), либо, наоборот, за быстроту и прыгучесть, либо за внешнее сходство — например, за торчащие зубы или пугливый взгляд. Приставка без- в таком прозвище — усилитель: «Безайка» значит «совсем как заяц», «сущий заяц». В диалектной речи приставка могла выполнять роль экспрессивной приставки, усиливающей признак, сродни современному «презаяц» или «раззаяц». Это не буквальное отсутствие зайца, а гипербола: «до того заяц, что и без зайца».

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Безайкин — сын или потомок Безайки. Модель типична для прозвищ, оканчивающихся на -а: Борода — Бородин, Сирота — Сиротин, Безайка — Безайкин. Фамилия могла закрепиться в среде крестьян и посадских людей в XVI–XVII веках, когда прозвища активно переходили в фамилии.

Встречается Безайкин в основном в центральных и южнорусских областях, особенно в Рязанской, Тамбовской, Воронежской губерниях. Это зона, где были сильны акающие говоры и где сохранялась старая традиция прозвищ на -а. Встречается вариант написания Беззайкин — с двойной «з», но он редок и, вероятно, вторичен, возникший под влиянием написания «без» как предлога.

Известных носителей фамилии мало, и она не попала в крупные дворянские родословные. Это не аристократическая, а народная фамилия, типичная для однодворцев и государственных крестьян. Её редкость и необычное звучание как раз и говорят о том, что прозвище было ярким, местным, не стёртым веками.