Фамилия Безаев — редкая и неочевидная с точки зрения русского языка. Её основа — прозвище Безай. Разбирать его по привычной восточнославянской модели «без + что-то» (например, Безруков, Безбородов) не стоит: здесь другой корень.

Скорее всего, прозвище Безай имеет балтийское происхождение. В латышском языке есть слово biezs — «толстый, густой». От него вполне могло образоваться уменьшительное или шутливое прозвище, которое закрепилось за человеком. Что именно имели в виду — внешнюю полноту или, как часто бывает, густоту кошелька, — сказать сложно. В балтийской традиции прозвища по достатку встречаются не реже, чем по внешности.

Суффикс -ев в фамилии Безаев — стандартный русский патронимический формант, указывающий на принадлежность: «сын Безая». Такая модель образования фамилий характерна для территорий, где русское население контактировало с балтоязычным: северо-западные области, Псковщина, бывшие земли Ливонии. Если ваши предки носили фамилию Безаев, стоит искать корни именно в этих краях.

Интересно, что фамилия практически не встречается за пределами России и стран бывшего СССР — это локальная, диалектная фамилия, не получившая широкого распространения. В дореволюционных источниках она фиксируется в основном в крестьянской среде западных губерний, что косвенно подтверждает связь с балтийским субстратом.