Фамилия Безаерхая — редкий случай, когда основа читается почти буквально, но при этом ставит перед исследователем больше вопросов, чем ответов. В ней легко угадывается сочетание «без» и «зархая» или «заерхая», однако ни в одном из доступных словарей древнерусских прозвищ или современных говоров такого слова нет. Скорее всего, мы имеем дело с искажением более понятного прозвища в ходе переписи или бытовой записи.

Первая и самая вероятная версия — фамилия восходит к прозвищу Беззархий или Беззархая. В южнорусских и украинских говорах «зархать» или «зархаться» означало «закашляться», «засипеть», «говорить с хрипом». Человек с больным горлом или хриплым голосом мог получить прозвище Беззархий — то есть «тот, кто не может зархать», не может прокашляться или говорить звонко. Со временем двойное «з» могло упроститься, и фамилия превратилась в Безаерхая. Такое упрощение характерно для устной речи при заполнении документов: писарь записывал на слух то, что слышал, а не то, что было в паспорте.

Вторая версия связывает фамилию с диалектным словом «ерха» — так в некоторых регионах называли неуклюжего, нерасторопного человека или того, кто «ерзает», суетится без толку. Тогда Безаерхая — прозвище спокойного, медлительного человека, который «без ерхи», то есть без суеты. Но эта гипотеза слабее: слово «ерха» редкое, и сочетание «без ерхи» не образует устойчивого прозвища, а скорее описательный оборот.

Фамилия образована по модели прилагательного женского рода с окончанием -ая. Это указывает, что первоначально она закрепилась за женщиной-вдовой или замужней женщиной, которую называли по мужу или по её собственному прозвищу. В русской традиции фамилии на -ая (Белая, Кудрявая) часто давали по внешности или характеру, реже — по роду занятий. Безаерхая стоит в этом ряду, но с необычной отрицательной приставкой «без-», что характерно для прозвищ-характеристик: Безруков, Безбородов, Безобразов.

Географически фамилия встречается крайне редко, преимущественно в записях XIX — начала XX века на юге России и в Беларуси. Это подтверждает связь с украинскими и южнорусскими говорами, где слово «зархать» было в ходу. Найти носителей фамилии в современных справочниках почти невозможно — это указывает либо на её угасание, либо на то, что большинство потомков сменили фамилию на более благозвучный вариант, например, Беззархий или Безерхов.

Итог: фамилия Безаерхая — это, скорее всего, искажённое прозвище человека с хриплым голосом, записанное на слух. Другие версии менее убедительны и не подкреплены диалектными данными.