Фамилия Безверхая — женская форма от Безверхий. В основе лежит прозвище, которое в старину давали человеку, не имевшему постоянного крова. «Безверхий» в прямом смысле — без крыши над головой, то есть бедняк, которому негде жить. Однако у этого слова было и переносное значение: так могли назвать взбалмошного, легкомысленного человека — «без царя в голове». Таким образом, прозвище могло указывать либо на социальное положение предка, либо на его характер и привычки.

Модель образования фамилии проста и прозрачна: суффикс -ов- (в мужской форме Безверхов) — один из самых распространённых в русской антропонимии, он указывал на принадлежность потомку человека с соответствующим прозвищем. Форма Безверхая — это уже вариант, закрепившийся за женщиной, но исторически фамилия передавалась от отца к детям.

В «Ономастиконе» С. Б. Веселовского зафиксирован Яков Григорьевич Безверхов, живший в 1628 году в Суздале. Это одно из ранних документальных подтверждений, что прозвище бытовало в центральной части Русского государства ещё в XVII веке. Если у ваших предков были корни в Суздальском уезде или окрестностях Владимира, это может быть прямым указанием на географию фамилии.

Фамилия не относится к редким, но и не слишком распространена. Встречается в разных регионах, особенно на юге России и в Сибири, куда переселенцы приносили свои прозвища. Интересно, что однокоренные фамилии — например, Безверхов, Безверх, Безверхова — все восходят к тому же прозвищу, но с разными суффиксами, что говорит о самостоятельном закреплении в разных ветвях рода.