Фамилия Безверха — редкий случай, когда прозвище перешло в фамилию почти без изменений, сохранив свою первоначальную форму. Она образована от прилагательного «безверхий», то есть «не имеющий верха». В старину так могли называть человека по нескольким причинам. Самая прямая — по отсутствию шапки или головного убора: «безверхого» легко было узнать в толпе, и прозвище закреплялось за ним как отличительная черта. Другая версия связана с домом или хозяйством: «безверхой» называли избу без крыши или с разрушенным верхом, а прозвище потом переходило на хозяина такого жилья.

Словообразовательная модель здесь необычна для русских фамилий. Обычно фамилии образуются с помощью суффиксов (-ов, -ин, -ский), но Безверха — это застывшая форма краткого прилагательного в женском роде. Такое оформление типично для украинских фамилий (сравните: Безрука, Безнога) или для русских фамилий, записанных через «-а» в родительном падеже. В русской традиции фамилия могла звучать как Безверхов, а Безверха — её украинский или южнорусский вариант, особенно распространённый на территории Слобожанщины и Кубани.

Изначально прозвище Безверха давали мужчине, но фамилия закрепилась в форме женского рода. Это не ошибка: в украинской ономастике многие фамилии на -а не склоняются по родам и остаются неизменными как для мужчин, так и для женщин. В русских же говорах встречается вариант Безверхий — с тем же корнем, но с окончанием мужского рода.

Встречается фамилия и в польской традиции: Безверха (Bezwiercha) могла возникнуть от польского «bez wierzchu» — «без верха», с тем же значением. Однако польский вариант чаще оформлялся как Безверховский или Безверх, так что русско-украинское происхождение выглядит правдоподобнее.

Таким образом, предки носителей фамилии Безверха — скорее всего, крестьяне или казаки из южнорусских или украинских земель, получившие прозвище либо за привычку ходить без шапки, либо за бедность и ветхое жильё. Фамилия редкая, но её значение прозрачно и не требует сложных этимологических реконструкций.