Фамилия Безбердая — редкий случай, когда написание подсказывает значение почти без оговорок. Это прилагательное в женском роде, застывшее в форме именительного падежа: Безбердая. Мужской вариант, соответственно, Безбердый. Такая модель образования (полное прилагательное без суффикса) встречается в русских фамилиях реже, чем привычные -ов/-ев или -ин, и чаще всего указывает на прозвище, которое давали человеку по яркому признаку. В данном случае признак — «без берда».

Что такое «бердо»? В старых диалектах и в ткацком деле бердо — это деталь ручного ткацкого станка, гребень, которым прибивают нить утка к основе. Ткачиха, работающая без берда, — нонсенс: без этой планки невозможно сделать плотное полотно. Поэтому прозвище Безбердый могло получить два совершенно разных человека. Первый — неумелый, нерадивый ткач, который «забыл» главный инструмент. Второй — человек, который по бедности или небрежности ходил в рваной, «голой» одежде, будто сотканной без берда, то есть плохо, редко, наспех. Есть и третья, менее вероятная версия: в некоторых говорах «бердо» означало не только ткацкую принадлежность, но и нечто кривое, косое. Тогда Безбердый — прямой, несклонный к кривде человек, но это скорее народная этимология, нежели подтверждённый факт.

Суффикса -ая в фамилии нет — это падежное окончание прилагательного, которое в русской ономастике часто переходило в фамилию без изменений. Такие фамилии (например, Косой, Толстой, Безрукий) закреплялись за одним человеком или ветвью рода и передавались по наследству, не меняя формы. В отличие от фамилий на -ский, которые указывали на географию или владение, Безбердая — чисто прозвищная, бытовая.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и украинским областям, где ткачество было массовым домашним промыслом, а прозвища — особенно хлёсткие и предметные — легко приживались. Сословного барьера у неё не было: прозвище могли дать и крепостному, и вольному ремесленнику. В дореволюционных переписях Безбердые встречаются единично, что подтверждает редкость фамилии: не каждый ткач оставался без берда, а если и оставался, прозвище не всегда перерастало в фамилию.

Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, происходил из среды ремесленников или крестьян, занимавшихся ткачеством. Прозвище не обязательно было обидным — в деревне его могли дать с усмешкой, как память о каком-то курьёзном случае. Сегодня фамилия сохранилась в единичных семьях, и её носители могут быть уверены: их родовая метка — одна из самых наглядных и предметных в русском ономастиконе.