Фамилия Бездоровников — редкий пример, где отрицательная приставка стоит в середине слова, а не в начале. Если разобрать её по составу, получается «Без-доров-ник-ов». Корень здесь — «доров», а не «здоров». Дело в том, что в старых русских говорах слово «доровый» означало то же, что и «здоровый». Приставка «з-» (или «с-») со временем приросла к корню в литературном языке, а в диалектах её могло не быть. Соответственно, «бездоровный» — человек хилый, болезненный, лишённый здоровья.

Фамилия образована по модели: прозвище Бездоровник → отчество «Бездоровников сын» → фамилия. Суффикс «-ник» в таких прозвищах указывал на носителя признака: «бездоровник» — тот, кто без здоровья. Это не ремесло и не профессия, а характерная черта внешности или самочувствия, которую дали предку в насмешку или по-соседски.

Интересно, что фамилия почти не встречается за пределами нескольких регионов. Основной ареал — старообрядческие и крестьянские территории Поволжья, особенно бывшая Вятская губерния и Заволжье. Там диалектное «доровый» держалось дольше, чем в центральных областях. Встречаются варианты написания: Бездоровников и, реже, Бездоровниковъ (с твёрдым знаком в дореволюционных записях).

С точки зрения социального статуса — это стопроцентно крестьянская фамилия. Дворянских родов с таким окончанием и такой основой в России не было. Ономасты (Унбегаун, Никонов) отмечают, что фамилии с приставкой «без-» типичны для северных и вятских говоров, где прозвища давали без обиняков. Бездоровников — не про «бездорожье», как можно подумать, а про слабое здоровье. Парадокс: фамилия сохранила архаичную форму слова, которую литературный язык давно заменил на «здоровый».