Фамилия Бежеская — редкий случай, когда географическая основа почти очевидна, но требует оговорок. С суффиксом -ск- (в женском роде -ская) такие фамилии обычно указывали на связь с местностью: владельческую (княжескую) или просто по месту жительства. Корень «Беж-» сразу отсылает к топониму Бежецк — старинному городу в Тверской области, известному с XIII века. Однако форма «Бежеская» нестандартна: правильное прилагательное от Бежецка — «бежецкий». Так что напрямую от названия города фамилию не образовали, но связь с бежецкой землей вполне вероятна.

Вероятнее другое объяснение: основа фамилии — не Бежецк, а река Бежа или местное урочище Бежи. В русской ономастике суффикс -ск- мог крепиться к названию небольшого села или речки, которые не сохранились в документах. Например, в новгородских и тверских писцовых книгах встречаются топонимы с корнем «беж-» (от «бежать» или диалектного «беж» — бегство, убежище). Фамилия Бежеская могла означать «выходец с Бежи» или «помещик из Бежской волости».

Словообразовательно фамилия проста: корень «беж-», суффикс -ск-, окончание -ая. Это типичная «географическая» модель, но без отчества или прозвища. В отличие от массовых фамилий на -ов/-ев, Бежеская — штучный экземпляр. По сословной принадлежности: носители такой фамилии в XIX веке могли быть как дворянами (по владению землей), так и крестьянами, переселившимися из Бежского края. Встречается она в основном в центральной России и на северо-западе, но крайне редко.

Споров у этимологов нет: вариант с белорусским или украинским корнем (от «беж» — безрогий) маловероятен из-за суффикса -ск-, нехарактерного для прозвищ. Так что если вы ищете предков, начинайте с Тверской губернии и окрестностей Бежецка — там шанс найти документальные упоминания выше, чем где-либо ещё.