Фамилия Бежевцов — редкий случай, когда географический оттенок почти наверняка перевешивает личное прозвище. Её основа — не «беж» (цвет) и не «бежать», а топоним Бежев или Бежево. Такие названия встречаются в тверских и псковских землях: например, деревня Бежево в Бежецком районе Тверской области. Само название этих мест, в свою очередь, восходит к древнерусскому имени Беж (уменьшительное от Бежен, производного от «беда» или «бежать» в значении «беглец, изгнанник»). Так что предок Бежевцовых — скорее всего, выходец из селения с таким именем, а не человек, получивший прозвище за цвет одежды или скорость.

Модель образования фамилии необычна. Суффикс -ов- указывает на принадлежность («чей?»), но не к лицу с прозвищем Бежевец, а к его потомку. Сначала появилось прозвище Бежевец — «житель Бежева». Потом от него образовали отчество Бежевцов — «сын Бежевца». Такая трёхступенчатая цепочка (топоним → прозвище жителя → отчество → фамилия) характерна для северных и центральных русских регионов, где было много мелких деревень и людей называли по месту выхода.

В написании фамилии возможна путаница с Бежецков. Бежецк — город в Тверской области, и фамилия Бежецков образована по той же модели, но от другого центра. Бежевцов же привязана к деревне, а не к городу, что говорит о более низком социальном происхождении носителей: скорее всего, это крестьяне или однодворцы, а не купцы или дворяне.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) эта фамилия не приводится — она слишком редкая и локальная. Встречается она преимущественно в Тверской и Новгородской областях, единично — в Москве. Если ваш предок носил фамилию Бежевцов, ищите его корни в тверских погостах, особенно вокруг Бежецка, но не в самом городе, а в окрестных деревнях с похожими названиями.