Фамилия Безпапько — редкий случай, когда в основе лежит не профессия и не личное имя, а бытовая ситуация, возможно, даже шутка. Она образована по той же модели, что и украинские фамилии вроде Безбородько или Безручько: приставка «без-» плюс корень, описывающий отсутствие чего-либо, плюс суффикс «-ко», типичный для украинских прозвищных фамилий. В данном случае корень — «папьк-», что в южнорусских и украинских говорах означало «батька», «отец» (иногда с оттенком «папочка»). Соответственно, Безпапько — это «тот, у кого нет отца» или «безотцовщина».

Написание через «а» после «п» (Безпапько, а не Безпапко) указывает на мягкий знак, который в украинской ономастике часто фиксирует исходное произношение прозвища. Такая форма встречается реже, чем вариант Безпапко, и может говорить о том, что фамилия закрепилась в письменном виде именно в той местности, где мягкое «п» слышалось отчетливо — например, в Полтавской или Черниговской губерниях.

Сам корень «папа» в значении «отец» — не книжный, а разговорный, детский. Прозвище Безпапько могли дать не только сироте в буквальном смысле, но и ребенку, которого воспитывала одна мать, или человеку, который рано потерял отца и получил насмешливое уличное имя. В крестьянской среде, где родство и происхождение имели большое значение, такое прозвище было не столько оскорбительным, сколько описательным — как маркер социального положения.

С точки зрения словообразования фамилия стоит в одном ряду с Безбатько (украинский вариант с корнем «батьк-») и Безотецкий (русский вариант с суффиксом -ский). Однако Безпапько — более редкая и локальная форма, сохранившая мягкость произношения, что делает её ценной для историков говоров. Встретить её можно преимущественно на левобережной Украине и в прилегающих областях России, куда переселялись украинские крестьяне.

Если у ваших предков была такая фамилия, скорее всего, они происходили из среды малороссийского казачества или крестьянства, где прозвища давали по житейским обстоятельствам. Никакого дворянского или служилого происхождения за ней не стоит — это чисто народная, «уличная» фамилия, которая со временем стала официальной.