Фамилия Безсольцын — редкий пример, где основа прозвища читается почти буквально, а суффикс указывает на конкретную модель образования. В ней сочетаются корень -соль- (от слова «соль»), приставка без- и суффикс -цын, который встречается реже, чем привычные -ов или -ин. Скорее всего, перед нами патроним (фамилия по отцу), образованный от прозвища Безсолец или Безсольца. Суффикс -цын обычно присоединялся к основам на -ц: отец → отцов → отцын, купец → купцын. Здесь исходная форма — Безсолец, то есть «сын Безсолца».

Прозвище Безсолец могло закрепиться за человеком, который по каким-то причинам не имел соли или обходился без неё. В крестьянском быту соль была ценным продуктом, почти символом достатка. «Без соли» — не просто бедность, а отсутствие самого необходимого, почти голод. Однако вторая версия, менее бытовая, отсылает к географии: Безсольцыным могли прозвать переселенца из местности, где соль не добывали, в отличие от соляных промыслов (например, Соликамска, Солигалича). Тогда прозвище означало «человек из бессольного края».

Орфография фамилии — через «з» (Безсольцын) — архаичная, дореформенная. После реформы 1918 года приставка без- пишется через «с» перед глухими согласными, и фамилия должна была бы превратиться в Бессольцын. Если человек носит вариант Безсольцын, это почти наверняка указывает на старую запись, которую не меняли при паспортизации, или на сознательное сохранение исторического написания.

В ономастических словарях фамилия не зафиксирована как широко распространённая. Встречается она точечно, в основном в центральных и южных регионах России. Однокоренные фамилии — Сольцов, Сольцын, Бессольцев — более частотны, но именно Безсольцын выделяется редкостью суффикса и прозрачностью внутренней формы. Если ваш предок носил такое прозвище, он, скорее всего, жил в среде, где соль была мерилом благополучия, или перебрался из мест, где её не хватало.