Фамилия Безугольникова — женская форма мужской фамилии Безугольников, и её происхождение не связано с углём как топливом. В основе лежит слово «угол» в значении «край, закоулок, пристанище». Прозвище Безугольник давали человеку, у которого не было своего угла, то есть бездомному, бродяге или тому, кто не имел постоянного жилья и скитался по чужим домам. В русских говорах «угол» — не только геометрическое понятие, но и метафора дома, крова, семьи.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: приставка «без-» указывает на отсутствие, корень «угол» — на основу прозвища, а суффикс «-ник» образует имя деятеля или носителя признака. Такая конструкция типична для русских прозвищ, описывающих социальное положение или особенность быта: ср. Беспалов (без пальца), Бездомов, Бескровный. Суффикс «-ов» в окончании фамилии (Безугольников) указывает на принадлежность: буквально «сын Безугольника».

Интересно, что фамилия имеет редкий вариант написания через «ё» — Безугольников. В старых документах встречается и форма Безугольниковъ с твёрдым знаком на конце. Географически фамилия тяготеет к южнорусским и поволжским областям: чаще всего её носители встречаются в Ростовской, Волгоградской областях и Краснодарском крае. На севере и в Сибири она почти не фиксируется.

Есть и альтернативная, менее убедительная версия: связь со словом «уголь» и профессией угольщика. Но она разбивается о морфологию: от «уголь» образовались бы фамилии Угольников, Углев, Углов, а приставка «без-» в таком контексте означала бы «тот, кто без угля», что маловероятно для прозвища. Семантика бездомности куда органичнее для народной антропонимии.

Таким образом, предки современных Безугольниковых были, скорее всего, людьми без постоянного крова — возможно, батраками, отходниками или переселенцами, которым прозвище дали за их скитальческий образ жизни. Со временем прозвище закрепилось как фамилия, потеряв первоначальный уничижительный оттенок.