Фамилия Безверщук — характерный пример украинской фамилии, образованной с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ук/-чук. Этот суффикс в украинской ономастике указывает на «сына» или «ученика» человека, названного в основе. Таким образом, Безверщук буквально означает «сын (или потомок) Безверха» или «сын Безвершка».

Основа фамилии — прозвище Безверхий или Безвершок. В украинских и южнорусских говорах слово «вершок» означало не только малую меру длины, но и «верхушку», «макушку», а также «вершину» (например, горы). Прозвище Безверхий могли дать человеку невысокого роста, с непокрытой головой (без шапки) или, что более вероятно, тому, кто жил на безлесой возвышенности или, наоборот, в низине, «без верха». Встречается и другая версия: прозвище могло относиться к бедному крестьянину, у которого не было «верха» в смысле крыши над головой — то есть бездомному или тому, кто жил в землянке.

Географически фамилия Безверщук почти целиком привязана к западным и центральным областям Украины: чаще всего она встречается в Волынской, Ровенской, Хмельницкой и Житомирской областях. Это зона активного бытования фамилий на -ук/-чук, где такая модель была основной для обозначения родства. В России фамилия редка и появлялась в основном из-за переселенческих потоков конца XIX — начала XX века.

Интересная деталь: в отличие от многих фамилий, образованных от христианских имён, Безверщук происходит от чисто бытового прозвища, причём с отрицательной приставкой «без-». Такие прозвища часто давали по яркой внешней или имущественной примете — ср. украинские фамилии Безбородько, Безносик, Безручко. Это указывает на то, что предок носителя фамилии был заметен чем-то, чего у него не было, и это стало его устойчивым именованием в общине. Сословно носители фамилии в подавляющем большинстве относились к крестьянству и казачеству; в дворянских родословных книгах Безверщуки не фиксируются.