Фамилия Бгашэ — редкий случай, когда основа не оставляет сомнений в географическом происхождении. Это адыгская (черкесская) фамилия, и её написание сразу указывает на язык-источник: конечное -э — типичный адыгский фамильный формант, соответствующий русскому окончанию. В русских документах такие фамилии часто записывают на слух, поэтому вариантов вроде Бгаше или Бгашэв почти не бывает — носители обычно сохраняют исходную форму.

Основа фамилии — бгашэ (бгъэшэ). В адыгских языках (кабардино-черкесском и адыгейском) слово «бгъэ» означает «орёл», а суффикс -шэ (или -шъэ) в фамилиях часто имеет значение «сын», «потомок» или «рождённый от». Таким образом, Бгашэ — это «орлиный сын» или «потомок Орла». Вероятнее всего, прозвище Бгашэ (Орёл) дали предку за какие-то качества: зоркость, силу, гордый нрав или, возможно, за связь с тотемной птицей. В черкесской культуре орёл — значимый символ, образ воина и вождя.

Модель образования типична для адыгских фамилий: личное прозвище или тотемное имя + патронимический суффикс. В отличие от русских фамилий на -ов/-ин, здесь нет указания на принадлежность роду через притяжательное прилагательное — суффикс -шэ прямо говорит о происхождении от конкретного человека. Поэтому фамилия Бгашэ — не «орлиный», а именно «сын того, кого прозвали Орлом».

Встречается фамилия преимущественно среди кабардинцев и черкесов, в Кабардино-Балкарии, Карачаево-Черкесии, а также в адыгской диаспоре за рубежом (Турция, Сирия, Иордания). В России она малочисленна, что неудивительно: адыгские фамилии в целом не столь широко распространены за пределами своих национальных регионов.

Других версий происхождения, например, тюркских или славянских корней, для фамилии Бгашэ нет — фонетика и структура однозначно адыгские. Если искать параллели, то можно вспомнить фамилию Бгажба (абхазская, с тем же корнем «бга» — орёл), но это уже другая языковая ветвь.