Фамилия Бигайлите — редкий случай, когда ономастика сталкивается не с русским, а с литовским наследием. Её окончание «-ите» (лит. -ytė) — верный признак женской фамилии в литовской традиции. В Литве такие фамилии носят незамужние женщины (дочери), и образуются они от отцовской фамилии или прозвища. Мужской вариант, скорее всего, звучал как Бигайлис (Bigailis) или Бигайла (Bigaila). Таким образом, перед нами не русская, а литовская фамилия, попавшая в русский контекст либо через брак, либо через миграцию.

Основа «Бигай-» восходит к литовскому слову bigėti — «быстро двигаться, бежать, торопиться». Прозвище Бигайла (Bigaila) могли дать человеку подвижному, суетливому или, наоборот, проворному в работе. В литовской антропонимике суффикс -ail- (-yla) часто образует прозвища от глаголов, подчёркивая характерное действие: ср. Dygaila (от dygti — «колоться»), Girdaila (от girdėti — «слышать»). Так что предок носительницы фамилии Бигайлите, вероятно, был известен своей быстротой — бегун, гонец или просто непоседа.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку Литвы и бывшим территориям Виленской губернии. Встречается она редко, и в России практически не фиксируется в старых переписях. Это говорит о том, что в русскую среду она попала не массово, а единично — возможно, в советское время при переезде или в результате брака.

Ошибочно было бы искать в этой фамилии славянский суффикс -ит- или видеть в ней вариант фамилии Бигаев. Литовская модель образования женских фамилий принципиально иная: она не застывает в одном роде, как русские фамилии на -ов/-ев, а меняется в зависимости от пола и семейного положения. Бигайлите — это не «потомок Бигая», а «дочь Бигайлиса». Поэтому для полного понимания фамилии нужно знать мужскую форму.

Если вы встретили эту фамилию в России, скорее всего, её носительница — женщина литовского происхождения или потомок выходцев из Литвы. Сама фамилия звонкая и редкая, и её разговорное значение — «быстрая, как ветер» — вполне могло бы стать семейным преданием.