Фамилия Бига чаще всего отталкивается от прозвища, которое дали по профессии. В украинских говорах есть слово «бiга» — это кайло, ручной ударный инструмент для раскалывания камня, горной породы или старой кирпичной кладки. Кайло напоминает кувалду, им наносят удары большой силы. Поэтому прозвище Бига могли закрепить за каменотёсом или человеком, который работал с камнем. Но у прозвищ есть и вторая сторона: грубоватого, резкого в обращении человека тоже могли назвать Бигой — по аналогии с тяжелым инструментом.

Другие версии менее вероятны. Иногда фамилию пытаются связать с татарским глаголом «биегею» — «становиться выше, высоким», но это натяжка: корень и звучание не совпадают настолько, чтобы считать такое объяснение убедительным. Ещё реже упоминают тюркское имя Биги со значением «герой» — но фамилия Бига по своей словообразовательной модели (суффикс -а) типична для прозвищ, а не для прямого заимствования имени.

Сама фамилия короткая, без типичных русских суффиксов -ов или -ин, что указывает на её украинские или южнорусские корни. В таких фамилиях прозвищная основа часто остаётся «голой», без оформления. Если ваши предки носили фамилию Бига, скорее всего, они жили на территории современной Украины или в приграничных с ней областях России и занимались ремеслом, связанным с обработкой камня.