Фамилия Бихари — один из тех случаев, когда географическое название легло в основу прозвища, а затем и фамилии. Венгерское слово «Bihar» — это историческая область на востоке современной Венгрии и западе Румынии (нынешний жудец Бихор). Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище «бихари», то есть «бихарец», «выходец из Бихара». Фамилия образована без русского суффикса, напрямую от прозвища, что указывает на позднее оформление или на то, что носитель сам принес её в русскую среду уже в готовом виде.

Русская ономастика редко фиксирует фамилию с таким корнем. В словарях фамилий народов России она не встречается, что говорит о её редкости. Скорее всего, Бихари — это фамилия венгерского или еврейского происхождения. У венгров фамилия Bihari довольно распространена и означает именно выходца из комитата Бихар. У евреев Ашкенази фамилия могла появиться по тому же принципу — по месту жительства или происхождения из города Бихар (например, нынешняя Орадя в Румынии, которая долго была частью Венгрии).

Словообразовательная модель проста: основа «Бихар» + окончание -и (венгерский падеж, указывающий на принадлежность или происхождение). В русском языке такое окончание не типично для фамилий, поэтому её могли склонять по образцу фамилий на -ий, хотя этимологически вернее было бы считать её несклоняемой, как и многие фамилии иноязычного происхождения.

Если предки носителя фамилии жили в России или Украине, то появление Бихари, скорее всего, связано с переселением из Австро-Венгрии. Это могли быть военнопленные Первой мировой войны, оставшиеся в России, или специалисты, приглашённые в XIX веке. Встретить фамилию можно среди потомков венгерских колонистов, а также в среде русинов или евреев Закарпатья.

Однокоренных фамилий в русском контексте практически нет. Разве что искусственно образованные «Бихаров» или «Бихарев», но они встречаются ещё реже и, вероятно, являются русификацией исходной формы. В любом случае, Бихари — фамилия с чёткой географической привязкой, а не от прозвища по профессии или внешности.