Фамилия Билоган — редкий случай, когда читатель почти сразу видит корень, но спотыкается о суффикс. Разберём её по косточкам, опираясь на словообразовательные модели, принятые в русской и украинской ономастике.

Первая часть, «Било-», скорее всего, восходит к глаголу «бить» или к существительному «било» — так называли язык колокола, а также часть цепа для молотьбы. В прозвищах «Било» или «Билый» (с ударением на первый слог) могли закрепиться за человеком с громким голосом (как колокол), за драчуном или за мастером-молотильщиком. Вторая часть, «-ган», — это не типичный русский суффикс. В украинских и южнорусских фамилиях суффикс -ан/-ган часто указывает на деятеля, иногда с оттенком просторечия или пренебрежения (ср. «гуляка» — «гульган», «драчун» — «драган»). Таким образом, Билоган — это «била» (основа) + «ган» (агентный суффикс). Вероятнее всего, фамилия образована от прозвища Билаган, которое дали либо забияке («била» + «ган» — тот, кто бьёт), либо человеку, работавшему с билом (например, звонарю или молотильщику).

География фамилии указывает на украинское или западно-русское происхождение. Фамилии с формантом -ан (без мягкого знака) традиционно распространены на Правобережной Украине, в Подолье и на юге Беларуси. В русских землях аналогичную модель давали суффиксы -ун или -ак (Билун, Билак). Поэтому Билоган — скорее украинская фамилия, чем русская, хотя в XIX веке могла мигрировать с переселенцами на Кубань, Дон или в Сибирь.

Спорный момент: можно ли связать фамилию с польским «biel» (белый) или тюркским «бил» (знать)? Первая версия маловероятна — тогда мы бы видели форму Белоган (от «белый»), а не Билоган. Вторая — ещё слабее: тюркские корни в фамилиях славянского ареала обычно дают другие суффиксы (-ов, -ев). Поэтому основная и самая правдоподобная гипотеза — прозвище от «бить» или «било».

Сословная принадлежность предков-Билоганов — почти наверняка крестьяне или мещане. Фамилия не дворянская (нет типичных дворянских суффиксов -ский/-цкий, -ович/-евич), не семинарская (не искусственная латинизированная форма). Это бытовое прозвище, которое закрепилось в документах при крепостном праве или в ходе ревизий. Если вы носите эту фамилию, ваши предки, скорее всего, жили в украинском селе или местечке и занимались земледелием или ремеслом, а прозвище получили за характер или профессию — звонкий голос, драчливость или работу с цепом.