Фамилия Бировчак звучит необычно для русского уха, и это подсказка: скорее всего, она пришла к нам из западнославянских языков, в первую очередь из польского или украинского. Её основа — прозвище или имя Бир, которое могло иметь два разных источника. Первый и самый вероятный: от польского bir или bierać в значении «брать, собирать». В старопольском языке «бир» могло означать сборщика податей, налогов или просто человека, который «забирает» что-то — такое прозвище давали либо сборщику дани, либо тому, кто брал взаймы и не отдавал. Вторая версия, менее распространённая, возводит корень к немецкому Bär — «медведь». В Польше и на западе Украины немецкие заимствования проникали через ремесленные и торговые контакты, и прозвище Бир могло означать медвежатника, силача или угрюмого человека.

Суффикс -чак — ключевая деталь. В украинской и польской ономастике это уменьшительно-ласкательный или патронимический формант. Он указывает на потомка или младшего родственника: Бировчак — это буквально «маленький Бир» или «сын Бира». Такая модель типична для западных регионов Украины (Галичина, Волынь), а также для юго-восточной Польши. Сравните с фамилиями Ковальчук (сын кузнеца), Попович (сын попа) — здесь тот же принцип, только с другим суффиксом. Бировчак — более редкий вариант, сохранивший польский оттенок.

Встречаемость фамилии сегодня невысока, и это говорит о её локальном происхождении. Скорее всего, носители Бировчак концентрировались в одном-двух сёлах или местечках на исторической границе польского и украинского влияния. По сословной принадлежности предки могли быть крестьянами или мещанами — фамилии на -чак редко встречаются у шляхты, зато обычны среди простого люда. Если ваш предок носил такую фамилию, он, вероятно, был либо сыном сборщика податей, либо потомком человека с прозвищем Медведь — но в любом случае корни ведут на запад, в сторону Карпат или Подкарпатья.