Фамилия Бировец — редкая и структурно прозрачная, но с неочевидным корнем. Она образована по модели, типичной для западнославянских и украинских фамилий: суффикс -ец указывает на принадлежность к месту или на характерный признак человека. В данном случае основа «Бир» может восходить к топониму — названию населённого пункта вроде Бир, Биров, Бирово. Такие названия встречаются в Польше, Чехии, Словакии и на западе Украины. Человек, выходец из такого места, получал прозвище Бировец, то есть «житель Бира» или «тот, кто из Бирова».

Вторая, менее очевидная версия связывает основу с древним личным именем или прозвищем. В славянской антропонимии известны имена Бир, Бирок, Биря — возможно, сокращённые формы от Бирослав или от германского Биргер, занесённого через польское посредство. В таком случае Бировец — «сын Бира» или «потомок Биря».

Фамилия почти не встречается в центральной России, что указывает на её западное происхождение. Наибольшая концентрация носителей — в Волынской и Ровенской областях Украины, а также в юго-восточной Польше. В России она могла появиться в результате переселений конца XIX — начала XX века, когда крестьяне с запада двигались в Сибирь и на Дальний Восток.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Биров, Бирюк, Бирюков — показывает, что Бировец стоит особняком. У неё нет уменьшительного или уничижительного оттенка, как у фамилий на -юк или -енко. Суффикс -ец придаёт ей скорее «географический» или «прозвищный» характер, близкий к польским фамилиям вроде Ковалец, Лебедец.

Итог: если вы Бировец, ваши предки, скорее всего, жили на западе Украины или в Польше, в небольшом селе с названием Бир или Биров. Фамилия не дворянская и не крестьянская в строгом смысле — она указывает на место, а не на сословие.