Фамилия Болецкие (в мужском роде — Болецкий) образована по типичной для польских, украинских и белорусских земель модели с суффиксом -цк-/-ск-. Такие фамилии чаще всего указывали на географическое происхождение человека: на то, откуда он родом или каким поместьем владел. За основу взято название населённого пункта вроде Болец, Болецк или Болецкое. Подобных топонимов в Восточной Европе несколько, и самый известный из них — село Болец в бывшем Перемышльском уезде (сейчас территория Польши, недалеко от украинской границы). Соответственно, Болецкий — это тот, кто родом из Болеца, либо потомок такого переселенца.

Корень «Бол-» в основе фамилии восходит к древнеславянскому личному имени Болеслав или к его краткой форме Болец. Имя Болеслав составное: от «боле» (больший, более) и «слав» (слава), то есть «тот, кто стяжает большую славу». Фамилия Болецкий могла возникнуть и как патроним от прозвища или имени Болец — ласкательного варианта того же Болеслава. В пользу этой версии говорит то, что в старых польских и украинских документах XV–XVII веков встречаются записи о людях с прозвищем Болец, от которого затем и пошла фамилия.

Суффикс -ский в фамилиях дворянского и шляхетского происхождения был особенно распространён в Речи Посполитой. Носители фамилии Болецкие могли принадлежать к мелкопоместной шляхте, владевшей землёй в окрестностях села Болец. В то же время после разделов Польши и в XIX веке фамилия распространилась среди крестьян и мещан, которые получали её по месту жительства или приписки. Поэтому однозначно утверждать о сословной принадлежности всех Болецких нельзя — среди них были и шляхтичи, и свободные крестьяне, и горожане.

В написании фамилии встречаются варианты: Болецкий, Болецкая, Болецкие. В украинской традиции возможна форма Болецький. В русском языке окончание -ий закрепилось как стандартное для фамилий на -ский. Фамилия Болецкие — не массовая, но стабильно фиксируется в западных областях Украины (Львовская, Ивано-Франковская, Тернопольская) и среди потомков эмигрантов в Польше и странах Западной Европы.

Если вы хотите установить точное происхождение конкретной ветви Болецких, стоит начать с поиска предков в метрических книгах католических и греко-католических приходов Галичины — именно там фамилия встречается чаще всего.