Фамилия Борощук звучит на слух как украинская или белорусская, и это верное направление. Её выдает суффикс -ук: в восточнославянской ономастике он типичен для запада Украины и юга Беларуси, где указывал на принадлежность к роду, часто — на сына или потомка человека, названного в корне. То есть Борощук — это «сын Борща» или «потомок Борща».

Корень здесь — Борощ-, что сразу отсылает к слову «борщ». Вопрос в том, что именно стояло за этим прозвищем. Самая прямая версия: человека прозвали Борщом за любовь к этому блюду или за то, что он его часто готовил, — прозвища по еде в крестьянской среде были обычным делом. Но есть и другой, менее очевидный вариант. В древнерусском языке слово «борщ» означало не только суп, но и растение — борщевик, съедобную траву. Прозвище Борщ мог получить человек, который собирал или торговал этой зеленью.

Фамилия зафиксирована в основном на западе Украины, особенно в Волынской и Ровенской областях. Встречается она и в Беларуси, но реже. Интересно, что в польском языке есть похожая фамилия Barszczuk — это прямой аналог, который мог перейти в русскую или украинскую запись как Борощук через адаптацию звучания. В польском «barszcz» — тоже борщ, так что этимология та же.

Сословно фамилия почти наверняка крестьянская: такие прозвища давали простым людям, и суффикс -ук редко встречался у дворян или духовенства. Если искать параллели, то однокоренные фамилии — Борщ, Борщев, Борщевский — распространены шире, а Борощук осталась локальной, западной формой. Это как раз тот случай, когда суффикс точнее, чем корень, указывает на географию предков.