Фамилия Борющкин — редкий пример, где суффикс проясняет больше, чем корень. В ней выделяется суффикс -кин, который в русских фамилиях обычно указывает на принадлежность: чей сын? — Борющкин. Но основа нестандартна.

Корень здесь — Борющк-. Вероятнее всего, это производное от имени Боря (уменьшительное от Борис) с двойным суффиксом: сначала -ющ- (как в Борюша, Борюшка — ласкательная форма), а затем -к-, который дал фамильное окончание. То есть Борющкин — «сын Борюшки» или «человек из семьи Борюшки». Такая цепочка (Борис → Боря → Борюшка → Борющка → Борющкин) встречается редко: двойное уменьшение — признак народной, бытовой речи, где имя обрастало ласкательными вариантами.

Менее вероятная версия — связь с диалектным словом «борюкаться» (бороться, возиться). Но в этом случае ожидалась бы фамилия Борючкин или Борюкин, а не с двумя суффиксами. Прозвище Борющка могло означать «маленький борец» или «задира», но для фамилий на -кин источником чаще служит личное имя, а не прозвище.

Фамилия явно крестьянского или мещанского происхождения. Суффикс -кин в XVIII–XIX веках был особенно распространён на севере и северо-востоке России (Архангельская, Вологодская, Вятская губернии), где «полные» фамилии на -ов/-ев приживались хуже. Борющкин могла возникнуть в среде, где человека звали по отцу неофициально: Иван Борющкин — то есть «Иван, Борюшкин сын».

В современных справочниках фамилия почти не встречается. В открытых базах (например, на портале «Фамилии России») Борющкин отсутствует, что подтверждает её редкость. Если носители есть, то, скорее всего, в одном-двух регионах, и фамилия не меняла написание — её не «обрусевали» и не исправляли на Борюшкин, хотя это могло произойти при переписях.

Итог: Борющкин — «сын Борюшки», где Борюшка — ласковое прозвище от Бориса. Фамилия сохранила редкий словообразовательный ход с двумя суффиксами и указывает на северное или северо-восточное происхождение рода.