Фамилия Босанков — сравнительно редкая, и её происхождение ведёт к прозвищу, а не к крестильному имени. Основа здесь — слово «босан» или «босой», причём первый вариант куда интереснее. В южнорусских и украинских говорах «босаном» могли называть человека, который ходит босиком, не носит обуви — не обязательно из бедности, а по привычке или даже по обету. В словаре Владимира Даля «босан» отмечен как бродяга или оборванец, но в фамилии это, скорее, бытовое прозвище: «Босан» — тот, кто пренебрегает обувью, простак или чудак.

Суффикс -ков указывает на русскую модель образования от прозвищ на твёрдый согласный: Босан → Босанков, то есть «сын Босана». Это патронимическая фамилия, характерная для центральных и северных областей России, хотя сам корень «бос» встречается шире — от Босого до Босоногова. Отличие Босанкова в том, что суффикс -ан добавляет оттенок просторечия или уменьшительности: не просто босой, а этакий «босик», «босаня». В ономастических работах, например у Бориса Унбегауна, подобные фамилии относят к «прозвищным», возникшим в крестьянской среде, где внешность или привычка легко становились родовым именем.

Географически фамилия тяготеет к югу России и Поволжью. В дореволюционных переписях Босанковы встречаются в Саратовской, Тамбовской и Воронежской губерниях — областях, где говор «босан» был в ходу. Дворянских родов с такой фамилией нет: это стопроцентно крестьянская или мещанская фамилия, часто однодворческая. Если предок носил прозвище Босан, он мог быть пастухом, который летом ходил босиком, или просто деревенским чудаком, но в любом случае фамилия закрепилась без привязки к сословию — по принципу «как прозвали, так и повелось».

Есть и альтернативная версия, менее вероятная: от тюркского «босан» — «освобождённый», «вольный». Но для русского уха такое объяснение натянуто, к тому же фамилия не встречается в татарских или башкирских списках, где подобные корни обычны. Так что останавливаемся на «босом»: Босанков — это «потомок того, кто ходил без сапог». Просто, наглядно и без лишней экзотики.