Фамилия Божагора — один из тех редких случаев, когда прозвище или имя сложилось из двух слов, но не срослось в привычную модель на -ов или -ин. Её основа — сочетание «божа» и «гора». Первая часть восходит к церковнославянскому «божий», а вторая — прямое указание на возвышенность. Получается «Божья гора». Вряд ли это топоним в чистом виде: скорее всего, прозвище дали человеку, жившему у часовни или креста на горе, либо тому, кто выделялся внешне — высокий, статный, заметный, как гора под небом.

По словообразованию фамилия уникальна. В русской традиции фамилии редко оставляют в форме чистого словосочетания без суффикса. Обычно такие конструкции застывали в польском, украинском или белорусском ономастиконе (сравните: Поддубный, Загорский). Божагора — явный выходец из западнорусских или малороссийских земель, где модель «определение + существительное» могла стать фамилией без дополнительных формальностей. В польском языке есть фамилия Bożogóra, и русская Божагора — её прямой фонетический аналог.

С точки зрения социального контекста, носитель такой фамилии в XVI–XVII веках мог быть крестьянином или казаком, получившим прозвище по месту жительства. Церковная лексика («божий») не обязательно указывает на духовное сословие — в народной среде такие прозвища давали по приметным объектам, связанным с верой. Фамилия не получила широкого распространения, что говорит о её локальном характере: вероятно, она закрепилась в одном или нескольких селах на западе современной Украины или в Беларуси.

Интересная деталь: в некоторых говорах «божа» могло быть не от «бог», а от диалектного «божа» — так называли икону или божницу. Тогда Божагора — «гора с иконой», то есть место, где стояла часовня или поклонный крест. Эта версия менее вероятна, но добавляет объёма: фамилия могла указывать не на самого человека, а на его усадьбу или надел земли у такой горы. В любом случае, корень прозрачен, и фамилия не требует сложных реконструкций — она из тех, что говорят сами за себя.