Фамилия Божаева — женская форма, а мужская, Божаев, образована по одной из самых распространённых моделей в русской ономастике: с помощью суффикса -ев. Этот суффикс присоединяли к основам, оканчивающимся на мягкий согласный, шипящий или «ц». В данном случае основа — Божай (или Божа). Следовательно, фамилия означает «чей?» — «сын (или потомок) Божая», то есть указывает на отца или родоначальника по имени или прозвищу Божай.

Корень «бож-» отсылает к слову «бог». Самая прямая версия: прозвище Божай могли дать человеку набожному, богомольному или, напротив, тому, кто часто поминал Бога всуе — в зависимости от контекста. Реже встречается мнение, что это сокращённая форма от имени Божидар (славянский аналог Федора — «дар Божий»). Но в русской традиции прозвища на -ай (как Милай, Добряй) чаще образовывались от прилагательных и наречий, чем от сложных имён, поэтому версия с прозвищем «божий человек» выглядит убедительнее.

Интересная деталь: фамилия Божаев встречается в основном у народов Северного Кавказа — осетин, чеченцев, ингушей. Среди осетин, например, она нередко пишется как Божаты (с типичным осетинским суффиксом -ты/-ти). Это наводит на мысль, что русская форма Божаев могла появиться при оформлении фамилий в документах XIX века, когда горцам «переделывали» фамилии на русский лад. Если так, то корень может быть не славянским, а местным. В осетинском языке есть слово «божа» — «доля, часть, удел». Прозвище Божа могли дать тому, кто получил надел земли, или, метафорически, человеку со своей «долей» судьбы.

Таким образом, у фамилии два возможных пути: славянский (от «бог» и набожности) и кавказский (от «доля, удел»). Выбор между ними зависит от того, в какой семье и регионе носители фамилии ищут свои корни. Если предки жили в центральной России или Поволжье, вероятнее первая версия. Если на Кавказе — вторая. Современные носители фамилии Божаева живут в основном в Северной Осетии, Чечне и Ингушетии, что склоняет чашу весов в сторону осетинского корня.