Фамилия Божаев — одна из тех, где значение меняется в зависимости от того, на какой слог падало ударение в исходном прозвище. Если разобрать её по составу, всё прозрачно: основа «Божа» плюс типичный русский суффикс принадлежности -ев. Суффикс указывает, что фамилия образована от личного имени или прозвища: Божаев буквально значит «сын Божи» или «человек из рода Божи».

Слово «божа» в русских говорах неоднозначно. В северных и центральных областях «божей» или «божа» могли называть набожного, богомольного человека, иногда с оттенком иронии — слишком уж усердного в вере. Но есть и другая, более приземлённая версия: в некоторых диалектах «божа» означало «дядя» или «старший родственник» (от общеславянского «бож» — родной, близкий). Третья гипотеза отсылает к тюркским корням: у народов Кавказа и Поволжья имя Божай (или Божа) встречается как самостоятельное мужское имя, и тогда фамилия Божаев — это русифицированная форма тюркской или кавказской фамилии на -ев.

География бытования подсказывает, что чаще всего Божаевы встречаются в Чечне, Ингушетии и Дагестане. Именно там фамилия имеет наиболее вероятное объяснение: от вайнахского имени Божа (уменьшительная форма от Бож-Али или подобных сложных имён). В русских же регионах фамилия редкая, спорадическая — её могли принести переселенцы или солдаты, женившиеся на местных девушках. В дореволюционных метрических книгах Терской области Божаевы фигурируют как казаки и крестьяне, что подтверждает южную привязку.

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий XIX века: основа на -а, -я плюс суффикс -ев. Если бы прозвище звучало как «Божай», фамилия писалась бы Божаев (с одним «а»), что мы и видим. В отличие от фамилий типа Божов (от «Бож»), здесь сохранился гласный основы. Таким образом, носитель фамилии Божаев с высокой вероятностью ведёт род из regions Северного Кавказа, где имя Божа было распространённым, или же его предок получил прозвище за богомольность — но в любом случае фамилия древняя, не моложе XVII–XVIII веков.