Фамилия Божиган — редкий случай, где за основу взято не имя и не профессия, а, скорее всего, прозвище, образованное от двух корней: «бож-» (Бог) и «-иган». Вторая часть родственна глаголам «игать», «игнуть» — в южнорусских и украинских говорах это означало «кричать», «вскрикивать», «аукать». Собирательный смысл: «Божиган» — человек, который вскрикивает «Боже!», то есть тот, кто часто поминает Бога всуе или, наоборот, постоянно молится вслух. Прозвище могло закрепиться за суеверным, восторженным или набожным человеком.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. В русских фамилиях редко встречается суффикс «-ан» в сочетании с корнем «бож-» (обычно мы видим Божков, Божанов, Боженов). Форма на «-иган» выдает южнорусское или украинское происхождение. В украинском языке есть слово «божигання» — «божба», «клятва именем Бога». Соответственно, Божиган — это тот, кто божится, клянется. В таком случае фамилия — прямое указание на речевую привычку предка.

Географически фамилия тяготеет к бывшим казачьим территориям: ее фиксировали в документах Войска Донского и в Черниговской губернии. Это косвенно подтверждает версию с украинским говором — именно там форма «божигання» была в ходу. В центральнорусских говорах такого слова нет, поэтому версия с «игать» (кричать) для севера маловероятна.

Встречается вариант написания через «а» — Бажиган, что может указывать на акающее произношение (юг России). Но основная форма Божиган сохраняет четкую связь с корнем «бог». Никаких параллелей с тюркскими или иноязычными корнями у этой фамилии нет — это чистый славянский ономастический гибрид, где божба стала фамильным прозвищем.

Сословно фамилия не элитарная: в списках дворян она не значится. Скорее всего, первые носители — крестьяне или казаки, которых в документах записали по уличному прозвищу. Сейчас фамилия остается редкой, даже штучной — встретить ее можно в единичных семьях на юге России и в восточной Украине.