Фамилия Божикова — женская форма от Божиков, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. В основе лежит имя или прозвище Божик. В славянской ономастике это уменьшительная форма от имени Богдан («данный Богом») или от мирского имени Божко, Божей, которые часто давали в крестьянской среде до эпохи обязательных фамилий. Суффикс -ик указывает на что-то маленькое или ласкательное: Божик — буквально «маленький Божий», «Боженька». Но не спешите думать о богохульстве: в древнерусских документах XV–XVII веков такие имена (Божко, Божик) встречаются как вполне обычные личные имена, без негативного оттенка.

Модель образования фамилии стандартная для восточнославянского ареала: основа Божик- плюс патронимический суффикс -ов (-ев). Божиков — «сын Божика». Женская форма Божикова, соответственно, означает «дочь или жена Божикова». Фамилия не дворянская и не искусственная (семинарская), а бытовая, крестьянская или мещанская. Она могла закрепиться где угодно на территории расселения русских, украинцев и белорусов, но чаще встречается в южнорусских и украинских говорах, где уменьшительные имена на -ик особенно популярны.

Есть и более прозаичная версия. В польском и западноукраинском диалектах «божик» — это божья коровка (насекомое). Прозвище Божик могли дать человеку небольшого роста, с кротким нравом или, наоборот, с яркой, заметной одеждой — по ассоциации с окраской жучка. В таком случае фамилия Божикова — потомок прозвища, а не церковного имени. Эта гипотеза менее популярна, но имеет право на существование: в словарях прозвищ (например, у Веселовского) встречаются «насекомые» фамилии вроде Жуков, Мухин, Комаров — почему бы не Божиков?

В написании фамилии возможна вариативность: через «ж» или через «ш» (Бошикова) — это диалектное «шепелявое» произношение, которое иногда фиксировали писаря. Но основная, «правильная» форма — с буквой «ж», и она прямо указывает на связь с корнем «бог-». Так что, если вы Божикова, ваши предки, скорее всего, носили имя Божик — либо как сокращение от Богдан, либо как прозвище, данное за характер или внешность.