Фамилия Брайковская — женская форма фамилии Брайковский. Её основа, корень «Брайк-», звучит нехарактерно для славянских языков, и это сразу указывает на вероятное географическое происхождение. Скорее всего, фамилия имеет западнославянские или балтийские корни, а точнее — польские или белорусские. В польском языке слово «brajka» или «brajek» могло быть прозвищем, производным от глагола «brać» (брать) или от диалектного названия какого-либо ремесла. Однако более убедительная версия связывает фамилию с топонимом: на территории бывшей Речи Посполитой (современные Польша, Беларусь, Украина) существовали и существуют населённые пункты с названием Брайки, Брайково или Брайков. Фамилии на -ский/-цкий традиционно образовывались именно от названия местности, поместья или города, указывая на дворянское или шляхетское происхождение владельца — «Брайковский» буквально означало «тот, кто из Брайкова».

Суффикс -ск- в этой фамилии — типичный признак польской и белорусской ономастической модели. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые чаще указывали на отчество или профессию, фамилии на -ский в XVI–XVIII веках закреплялись за землевладельцами, а позже — за их потомками, переходя в другие сословия. Поэтому Брайковские, скорее всего, были шляхтой мелкопоместной или служилой, владевшей хутором или деревней Брайки. В Российской империи после разделов Польши такие фамилии массово вошли в состав русского дворянства, но могли встречаться и среди мещан, если предки утратили землю или перебрались в города.

Интересная деталь: написание через «й» (Брайковская, а не Брайковская с «и» после «й») фиксирует мягкость звука и характерно для юго-западных говоров. Встречается также вариант Брайковская с ударением на второй слог, что может указывать на разные ветви одного рода. Фамилия довольно редкая: в современных базах данных она фиксируется в основном в западных областях Украины (Волынь, Ровенщина), а также среди потомков переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их следы в метрических книгах бывших Волынской или Гродненской губерний — именно там, вероятно, и находился тот самый Брайков, давший фамилию роду.