Фамилия Бросаева — женская форма, а мужская, Бросаев, образована по стандартной для русских фамилий модели: с помощью суффикса -ев от личного прозвища или имени. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или на -й. В данном случае основа — «Бросай».

Самая прямая версия: прозвище Бросай дали человеку с импульсивным, резким характером, который часто что-то бросал — то ли в прямом смысле (например, вещи в гневе), то ли в переносном (бросал дела, не доводил до конца). В русских говорах глагол «бросать» имел и более узкие значения: «кидать, метать» (о камнях или копьях), «бросать палку собаке» — то есть прозвище могло закрепиться за метким стрелком или за тем, кто любил играть с собаками.

Менее вероятно, но возможно, что в основе лежит не глагол, а краткая форма от имени Брослав или Бросислав — редких славянских имён с корнем «бро-» (от «бороться», «брать»). Однако в таком случае фамилия скорее звучала бы как Бросиславов или Бросов, а «Бросаев» указывает именно на глагольную основу в повелительном наклонении (Бросай).

Географически фамилия редкая. Встречается в центральных областях России, единичные носители есть в Поволжье. В дореволюционных переписях почти не фиксируется, что говорит о её позднем оформлении или малом распространении. Сословно, скорее всего, крестьянское или мещанское происхождение: прозвища от глаголов в повелительном наклонении типичны для простонародной среды.

Интересная деталь: однокоренные фамилии — Бросалов, Бросков, Бросаевский — встречаются ещё реже. Бросаева выделяется именно мягкостью суффикса, что делает её звучание более плавным, чем у «Бросалова», и указывает на вариант прозвища именно в форме «Бросай», а не «Бросало».