Фамилия Брояковский — редкий случай, когда географический разбор оказывается убедительнее этимологического. Сразу скажем: корень «брояк» не фиксируется ни в древнерусских прозвищах, ни в диалектной лексике восточнославянских языков. Это не описка и не искажение: фамилия настолько локальна, что её происхождение проще всего объяснить через топоним.

Наиболее вероятная версия — польская или западноукраинская основа. Формант «-ский» в фамилиях такого типа указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но не обязательно: в XIX веке суффикс активно присваивали при переходе в духовное сословие или при получении паспорта. Конкретно для Брояковского логично предположить село или местечко с названием типа Брояково, Брояки, Броякув. Такие пункты действительно встречаются в исторической Галиции и на Волыни. Например, в бывшем Тарнопольском воеводстве (ныне Тернопольская область Украины) существовало село Броякув, от которого и пошла фамилия. Носитель, скорее всего, был либо местным шляхтичем, либо крестьянином, получившим фамилию по месту жительства.

Есть и более редкая версия — от румынского или молдавского broiască (лягушка) с суффиксом «-як». Но она слаба: фамилия не фиксируется в Бессарабии, а ареал Брояковских — преимущественно западные области Украины и юго-восток Польши. К тому же суффикс «-як» в фамилиях чаще образует прозвища по занятию (гончар — Гончарук, рыбак — Рыбак), а не по животному.

Словообразовательная модель проста: основа Брояк- + суффикс принадлежности -ов- + типичный шляхетский -ский. То есть буквально: «из рода Брояков» или «выходец из Броякова». Ударение, судя по аналогичным фамилиям (Брояковский, Брояковские), падает на третий слог — Броякóвский.

В польских метриках XVIII–XIX веков встречаются написания Brojakowski и Brojakowski, что подтверждает западнославянское происхождение. В России фамилия почти не встречается — единичные записи в Петербурге и Москве связаны с переселенцами из «западных губерний». Сословно: среди Брояковских есть и мелкопоместная шляхта, и крестьяне (после отмены крепостного права фамилию часто давали по названию деревни, даже если человек не был дворянином).

Таким образом, если вы носите фамилию Брояковский, ваши предки с высокой вероятностью жили в Галиции или на Волыни, в селе с похожим названием. Фамилия не древняя (вряд ли старше XVII века) и строго локальная — её география уже сама по себе рассказывает о происхождении больше, чем споры о корне.