Фамилия Бщгачук — настолько редкий случай, что её написание, скорее всего, содержит опечатку или является результатом искажения при записи. В русской ономастике нет фамилий с таким стечением согласных («бщг»), которое невозможно произнести без вставки гласных. Поэтому первое, что стоит сделать при поиске — проверить исходный документ: возможно, фамилия выглядит как Богачук, Бойчук, Борщук или Бгачук.

Если же мы имеем дело с сознательным написанием (например, в какой-либо восточноевропейской или тюркской записи), то наиболее вероятная основа — корень «бог» или «богач». В таком случае фамилия Бщгачук могла возникнуть из-за ошибки переписчика, который заменил «о» на «щ» или сжал буквы. Исходная форма, скорее всего, Богачук.

Богачук — типичная украинская или белорусская фамилия с суффиксом -ук/-чук, который в этих языках обозначает сына или потомка (как русское -ович). Основа «богач» — прозвище зажиточного, состоятельного человека. Соответственно, Богачук — «сын богача» или «потомок богатого человека». Фамилия распространена на западе Украины, в Беларуси и среди переселенцев в Сибири и на Дальнем Востоке.

Версия с корнем «борщ» (Борщук) менее вероятна, так как буква «щ» в фамилии стоит на третьем месте, а не на четвёртом. Однако если исходное слово — «бгач» (диалектное, возможно, от «бгать» — гнуть, мять), то Бгачук могло означать «сын того, кто гнёт» (например, бондаря или кузнеца). Но и в этом случае написание «бщг» остаётся аномальным.

Таким образом, единственная реалистичная гипотеза: фамилия Бщгачук — это искажённая запись фамилии Богачук. Если вы нашли её в старом документе, попробуйте восстановить исходное написание через «о» — это даст ключ к происхождению и географии предков.