Фамилия Будайгаджиев — редкий случай, когда в одной основе столкнулись сразу два культурных пласта: тюркский и арабский. Она образована по русской модели с суффиксом -ев, но её корень — составное личное имя, которое говорит о вероисповедании и происхождении предка. Первая часть, Будай, скорее всего, восходит к тюркскому «будай» — «пшеница». В тюркских языках, особенно у кумыков и ногайцев, такие «растительные» прозвища давали либо по роду занятий (хлебороб, торговец зерном), либо как пожелание достатка и сытости. Вторая часть — Гаджи — это арабское حاجي (хаджи), почётный титул мусульманина, совершившего паломничество в Мекку. Соединение «Будай» и «Гаджи» даёт имя-прозвище Будай-Гаджи: «паломник-пшеница» или «богатый хаджи». Вероятно, так называли человека, который, вернувшись из хаджа, занимался земледелием или имел прозвище, связанное с пшеницей.

Географически фамилия почти наверняка дагестанская, точнее — кумыкская. У кумыков распространена модель, когда к тюркскому имени добавляется арабский религиозный компонент, а затем русский фамильный суффикс. Встречаются варианты Будай-Гаджи, Будайгаджи, Будайхаджиев. Суффикс -ев, а не -ов, указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий согласный или «й» (Будай → Будайев, но в сложном имени притяжение идёт ко второй части — Гаджиев). То есть фамилия Будайгаджиев — это русифицированная форма отчества или родового имени: «сын Будай-Гаджи».

Сословная принадлежность предков неясна: кумыкские хаджи могли быть и зажиточными крестьянами, и торговцами, и духовными лицами. Но сам факт, что предок носил титул «Гаджи», говорит о его религиозном авторитете и, вероятно, о достатке — паломничество в XIX веке требовало средств. В современной России фамилия остаётся крайне редкой, почти не встречается за пределами Дагестана и Чечни. Если ваш предок носил её в советских документах, скорее всего, он был выходцем из Кумыкской плоскости или предгорий.