Фамилия Будиянский — одна из тех, что заставляет задуматься: «будить» тут или что-то другое? Сразу скажем, прямое значение глагола «будить» здесь, скорее всего, ни при чём. Основа фамилии — «Будиян» — восходит к антропониму, то есть к личному имени или прозвищу. Скорее всего, перед нами вариант южнославянского или западноукраинского имени Будиян, которое образовано от корня «буд-» со значением «быть, существовать» (сравните с болгарским «буда» — «строить, созидать»). В старину подобные имена-обереги давали ребёнку с пожеланием долгой и крепкой жизни: «пусть будет, пусть живёт».

Суффикс «-ский» указывает на шляхетское или географическое происхождение. Такие фамилии чаще всего получали дворяне по названию своего поместья, либо крестьяне, переселившиеся из села с похожим названием. В Речи Посполитой, которая охватывала и западнорусские земли, модель на «-ский» была типична для мелкой шляхты. Поэтому носитель фамилии Будиянский мог быть потомком польского или украинского шляхтича из местечка Будиян (гипотетическое название) или выходцем из семьи, владевшей землёй в этих краях.

Менее вероятно, но не исключено, что фамилия — искусственная, семинарская. В духовных училищах XIX века ученикам нередко давали звучные фамилии, образованные от латинских или греческих корней, либо от бытовых слов. «Будиянский» могло бы стать «красивой» переделкой фамилии Будин или Будников, но для семинарской традиции этот вариант слишком привязан к славянскому корню, а не к церковнославянской или латинской лексике.

Географически фамилия тяготеет к западу: чаще всего она встречается в Подолье, на Волыни, а также в Галиции. После разделов Польши и переселений Будиянские оказались и в центральной России, но их корни — в украинско-польском пограничье. Ударение в фамилии, скорее всего, падает на второй слог — Будиянский, что также типично для западнорусской ономастики.

Резюмируя: ваш предок по фамилии Будиянский — это, вероятно, человек с прозвищем Будиян (от «быть, существовать»), который либо владел землёй и получил фамилию по названию усадьбы, либо переехал из села Будиян и стал писаться как Будиянский. Прямой связи с пробуждением или будильником нет.