Фамилия Буяев образована по стандартной для русской антропонимии модели: основа плюс суффикс -ев, который присоединялся к основам на мягкий согласный или -й. В данном случае основа — Буяй. Это либо прозвище, либо неканоническое имя, и его значение прямо связано со словом «буйный».

В древнерусском языке «буй» означало не только «глупый, бешеный», но и «смелый, отважный, сильный». В «Слове о полку Игореве» «буй тур» — похвала храброму воину. Поэтому прозвище Буяй могли дать человеку с крутым нравом, вспыльчивому, но не обязательно глупому — скорее, необузданному в гневе или в удали. Со временем прозвище закрепилось за потомками как фамилия.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с топонимом. В России есть несколько населённых пунктов с корнем Буй-, например город Буй в Костромской области или река Буй. Если предок был выходцем из такого места, его могли записать как Буяев — «житель с Буя». Однако таких случаев зафиксировано меньше, чем прозвищных фамилий.

Фамилия Буяев — нередкая, но и не массовая. Она встречается в разных регионах, но чаще в центральной России и Поволжье. Интересно, что однокоренные фамилии — Буянов, Буйнов, Буйлов — имеют схожую семантику, но разное суффиксальное оформление. Буяев выделяется именно моделью на -ев, что указывает на древнюю основу Буяй, а не на Буян или Буйло.

Таким образом, носитель фамилии Буяев, скорее всего, происходит от человека, которого в XVI–XVII веках прозвали Буяем за его крутой, смелый или неуправляемый характер.