Фамилия Бягуров — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка было связано не с характером, а с физическим действием или особенностью походки. Разберём её по косточкам, не отвлекаясь на общие места.

Корень здесь — «бяг-», который в русских говорах, особенно южных и западных, является фонетическим вариантом глагола «бегать». Сравните с украинским «бігати», белорусским «бегаць» или диалектным русским «бягать». Человек, получивший прозвище Бягур, — это не «беглец» и не «бегун»-спортсмен, а скорее тот, кто быстро передвигается, суетится, возможно, работает скоро, но не всегда аккуратно. В некоторых говорах «бягун» означало непоседу или человека, который «бегает» по делам, выполняет поручения — вроде рассыльного или ходока.

Суффикс «-ур» в русской антропонимии встречается нечасто. В отличие от стандартного «-ун» (Бегун, Хвастун), суффикс «-ур» мог придавать прозвищу оттенок пренебрежительности или шутливости. Это характерно для простонародных, часто односельских прозваний: Бягур — «бегунок», «беготун». Модель образования фамилии проста: от прозвища Бягур через притяжательный суффикс «-ов» — «сын Бягура». То есть фамилия изначально отвечала на вопрос «чей?».

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и, вероятно, украинским территориям. Формы с «я» вместо «е» (Бягуров вместо Бегуров) — надежный маркер акающих говоров или влияния украинского языка. Встречается она в основном в Ростовской, Воронежской областях, а также в Краснодарском крае. В центральных и северных регионах России преобладает вариант Бегуров, образованный от той же основы, но с литературным «е».

Версия о тюркском происхождении (от тюркского «бяг» — «бек», «господин») маловероятна. Суффикс «-ур» не характерен для тюркских фамилий, а переход «бек» в «бяг» в русской записи дал бы скорее Беков, Бяков или Бягуев, но не Бягуров. К тому же в тюркских языках нет глагольной основы, которая объяснила бы суффикс «-ур» в таком значении. Поэтому самая прочная версия — чисто славянская, от глагола движения.

Сословно, скорее всего, это фамилия крестьянская или мещанская. Прозвища, образованные от бытовых действий, редко давали дворянам. Бягуров — не княжеский род, а меткое уличное прозвище, которое закрепилось за семьей в документах XVII–XIX веков, когда крестьянам начали массово присваивать фамилии по имени отца или его прозвищу.