Фамилия Бягурова — редкий случай, когда географическая привязка оказывается важнее, чем разбор корня. Она почти наверняка происходит из одного региона — с юга России, из казачьих областей или Северного Кавказа. Основа «бягур» — это не литературное русское слово, а диалектное или заимствованное. Вероятнее всего, это вариант слова «бягу́р» или «бегу́р» — в говорах так называли быстроногого, проворного человека, бегуна. Прозвище могли дать гонцу, пастуху или просто непоседе.

Суффикс «-ов-» указывает на традиционную русскую патронимическую модель: Бягуров — сын Бягура. Женская форма Бягурова, соответственно, означает «жена или дочь Бягурова». Но здесь есть нюанс: окончание «-а» могло закрепиться и за мужской формой в некоторых южнорусских говорах, где фамилии на «-а» встречаются чаще (сравните с украинскими фамилиями на «-енко»). Однако в современном русском языке Бягурова — однозначно женский вариант.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с тюркским словом «бяг» (бек, господин) или «бягир» (медный), но тогда фамилия звучала бы как Бягиров или Беков. Форма «Бягуров» ближе к славянской диалектной основе. В словарях фамилия не фиксируется как распространённая — это редкая, локальная фамилия, скорее всего, донских или кубанских казаков.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах станиц Краснодарского края, Ростовской области или Ставрополья. Там же могло сохраниться и исходное прозвище Бягур.