Фамилия Бяшка — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычного суффикса -ов или -ин, а значит, перед нами не патроним (не «чей-то сын»), а застывшее прозвище или слово, которое стало фамилией без изменений. Такие «голые» основы чаще встречаются на западе и юге России, в украинских и белорусских землях, где фамилии нередко оканчивались на -а, -о, -ий.

Самое прямое объяснение лежит на поверхности: «бяшка» — диалектное или просторечное название овцы, ягнёнка. В южнорусских и украинских говорах бяшкать — значит блеять, а бяша — ласковое обращение к овце. Прозвище Бяшка могли дать человеку за схожесть с этим животным: за тихий нрав, за привычку повторять одно и то же, за внешность (кудрявые волосы, пухлые губы). В крестьянской среде такие прозвища были обычным делом — их давали по приметной черте, и они закреплялись за родом.

Есть и другая, менее очевидная версия. В некоторых говорах «бяшка» означала не только овцу, но и нечто мягкое, бесформенное, мешковатое. Так могли назвать медлительного, неуклюжего человека. Вряд ли здесь стоит искать связь с тюркскими или кавказскими корнями — слово звучит по-славянски, и его звукоподражательная природа (от «бе-е») указывает на русскую или украинскую языковую почву.

Фамилия Бяшка почти не встречается в дворянских родословных и в списках известных исторических деятелей. Это верный признак того, что её носили крестьяне, ремесленники или казаки. Носители фамилии сегодня рассеяны по России и Украине, но нигде не образуют крупных гнёзд. Если ваш предок носил фамилию Бяшка, скорее всего, он жил в южных губерниях, где разводили овец, и получил прозвище от соседей — без обидного оттенка, а просто как меткую бытовую кличку.