Фамилия Быцуля — редкий случай, когда корень слова остаётся загадкой даже для опытного этимолога. В ней нет ни типичного русского суффикса принадлежности (-ов, -ин), ни очевидной славянской основы. Первое, что бросается в глаза, — окончание -уля. В украинском и южнорусском говорах этот суффикс часто придаёт слову ласкательный или уменьшительный оттенок (бабуля, мамуля), но может и образовывать прозвища от глаголов или имён.

Самая вероятная версия связывает Быцулю с глаголом «быцкать» или «быцать». В диалектах (особенно на западе Украины и в Белоруссии) эти слова означают «бодать», «толкать рогами» — обычно так говорят о козле или баране. Прозвище Быцуля мог получить человек с упрямым, «бодливым» характером, или же тот, кто пас скот и имел дело с рогатой живностью. Менее распространённое толкование — от «быть» в значении «существовать», но это звучит натянуто: суффикс -уля для таких основ нехарактерен.

Встречается фамилия почти исключительно на западе Украины — в Волынской, Ровенской, Тернопольской областях. Там же бытуют однокоренные фамилии Быц, Быцко, Быцюк. В русских переписях Быцуля практически не фиксируется, что указывает на её чёткую региональную привязку к украинскому или польскому языковому влиянию (ср. польск. byczyć się — «упрямиться»).

Сословная история фамилии проста: в XIX веке Быцули числились крестьянами или мещанами. Дворянских родов с такой фамилией не обнаружено. В советских архивах носители встречаются редко, и до сих пор фамилия остаётся малочисленной — не более нескольких сотен человек по всему миру. Если вы ищете своих предков, стоит начинать с метрических книг Волынской губернии.