Фамилия Чайкиа — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает любую другую версию происхождения. Скорее всего, перед нами не русская, а грузинская или абхазская фамилия с сильно обрусевшим окончанием. В грузинском языке фамилии на -иа (Чайкиа, Гулиа, Данелия) типичны для Мегрелии и Абхазии, а также встречаются у абхазов. Основа «Чайк-» может восходить к грузинскому слову «чайка» (ჩაიკა) — то есть «чайка, чайная ложка», либо к уменьшительной форме имени Чайко, Чайка, которое в Грузии могло быть прозвищем человека с лёгким, «птичьим» характером.

Если же предположить русское происхождение, то фамилия выглядит как искусственное образование. В русских говорах слово «чайка» известно, но фамилии от названий птиц обычно принимали форму Чайкин или Чайков. Окончание -иа для русской фамилии нетипично: оно могло появиться при переписи, когда писарь на слух записал Чайкина как Чайкиа, или же это результат адаптации иноязычной фамилии под русскую грамматику. В любом случае, корень здесь прозрачен — от слова «чайка», но не как птица, а как прозвище: так могли назвать человека с белыми волосами (цвета чайки), быстрого или крикливого.

С точки зрения словообразования, это не суффиксальная русская модель (-ов/-ев, -ин), а скорее фиксация основы в форме, близкой к именительному падежу. Подобные фамилии встречаются у народов Кавказа, где патронимы часто оканчиваются на -иа, -ия, -а. Если ваш предок носил фамилию Чайкиа, с высокой вероятностью он происходил из западной Грузии или Абхазии, и его предки могли быть связаны с чайными плантациями (слово «чайка» как «чайная ложка» указывает на занятие) или же с местным прозвищем.

Других версий, заслуживающих внимания, нет: попытки связать фамилию с тюркскими корнями или с древнерусским именем Чайка (от «чаять» — надеяться) разбиваются о необычное окончание. Так что для носителя фамилии Чайкиа наиболее правдоподобный ответ — кавказское происхождение с русской адаптацией.