Фамилия Чайничкова — редкий пример, где основа прозвища и её суффиксальное оформление почти полностью совпадают с современным бытовым словом, но с поправкой на старую русскую словообразовательную модель. В основе лежит слово «чайник». Однако прямой связи с кухонной утварью в прозвище могло и не быть. В русских говорах «чайником» называли не только сосуд для кипячения воды, но и человека, который любит чаёвничать, либо — с иронией — того, кто слишком медлителен или простоват (сравните с «чайник» в значении «новичок», хотя это значение более позднее). Возможен и ремесленный след: на Руси были мастера-чайничники, делавшие или продававшие чайники, и прозвище Чайник могло закрепиться за таким человеком.

Фамилия образована по продуктивной модели: прозвище Чайник → притяжательное прилагательное Чайничков (чей? — сын Чайника) → женская форма Чайничкова. Суффикс -ов- здесь стандартный, указывающий на принадлежность. Обратите внимание на чередование к/ч в основе: Чайник — Чайничков. Это типично для русского языка (сравните: кулак — кулачков, молок — молочков) и не должно сбивать с толку при поиске корня.

Географически фамилия Чайничкова тяготеет к северным и центральным регионам России, особенно к бывшим новгородским и вятским землям, где были распространены прозвища по привычкам и занятиям. Встречается она редко, что говорит о локальном происхождении: скорее всего, один предок-носитель прозвища дал начало цепочке потомков в конкретной деревне или волости. В дворянские родословные книги эта фамилия не попала — она типично крестьянская или мещанская, что подтверждается и отсутствием ранних упоминаний в боярских списках.

Интересно, что фамилия Чайничков (и её женская форма) не имеет «аристократического» суффикса -ский, который часто добавляли искусственно. Это «чистая» фамилия-прозвище, без поздних приписок, что делает её хорошим примером народной ономастики XVII–XVIII веков. Если ваш предок был Чайничковым, он, скорее всего, не имел отношения к чайной торговле как к крупному промыслу — скорее, это было бытовое прозвище, данное соседями за любовь к чаю или за неспешный характер.