Фамилия Чайцова — женская форма, а мужская — Чайцов. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Чай, Чайцо. И тут сразу два возможных корня, и оба вполне реальны.

Первый и самый очевидный — от слова «чай». В русских говорах «чаем» могли прозвать любителя этого напитка, торговца чаем или человека, который постоянно пил чай, приговаривая «чайку бы». Такое прозвище фиксируется в старых документах. Например, в словаре Веселовского есть Чай, крестьянин, 1495 год, Новгород. Фамилия образована по стандартной модели: Чай → Чайц(о) (уменьшительное с суффиксом -ц-) → Чайцов. Уменьшительная форма «Чайцо» могла относиться к сыну или младшему родственнику того самого Чая.

Вторая версия, менее распространённая, но лингвистически правомерная: основа от глагола «чаять» — надеяться, ожидать, полагать. В диалектах «чай» означало «кажется, вероятно». Прозвище Чай могли дать человеку рассудительному, который часто употреблял это слово в речи, или, наоборот, тому, кто вечно чего-то ждал. Сравните с фамилией Чаянов, образованной от той же основы.

Суффикс -ов- указывает на типичную русскую модель принадлежности, закрепившуюся в XVI–XVII веках. Фамилия Чайцова — не дворянская и не купеческая, а скорее крестьянская или мещанская, каких большинство. География бытования широкая: встречается и в центральных областях России, и на Урале, и в Сибири, куда фамилия попала с переселенцами. В дореволюционных метрических книгах Чайцовы записаны, например, в Вятской и Пермской губерниях.

Стоит обратить внимание на редкий промежуточный элемент -ц-: не Чайов, а именно Чайцов. Такая форма говорит о том, что прозвище Чайцо бытовало как самостоятельное, а не просто как «сын Чая». Это придаёт фамилии своеобразный оттенок: предок был не просто «чаем», а «чайцом» — возможно, с ласкательным или уменьшительным оттенком, как Щегол и Щеголев, но через Щегольцов.