Фамилия Чегошева — женская форма фамилии Чегошев, и её разбор стоит начать не с корня, а с вопроса, который она сама задаёт: что за «чего» в основе? На слух фамилия кажется странной, почти вопросительной, но на деле её происхождение прозрачнее, чем кажется.

Словообразовательная модель типична для русского Северо-Запада и Поволжья: суффикс -ев присоединён к основе, оканчивающейся на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа — Чегош. А это, скорее всего, диалектный или разговорный вариант имени или прозвища. Вероятнее всего, перед нами усечённая форма от крестильного имени Евгений (через народное Евгений → Евген → Чеген → Чегош) или от имени Георгий (в просторечии Егорий → Егош → Чегош). Переход «е» в «о» под ударением и появление начального «ч» — характерная черта северных и вятских говоров, где звуки могли смещаться, а имена «укорачивались» до неузнаваемости.

Менее вероятная, но возможная версия — прозвище Чегош, образованное от глагола «чегошить» (говорить «чего» вместо «что», то есть «чегошить» — окать или сюсюкать, по мнению некоторых диалектологов). В таком случае прозвище дали человеку с характерной манерой речи. Однако эта гипотеза слабее: глагол редок и документально почти не засвидетельствован, а вот антропонимические цепочки от Евгения и Георгия встречаются в фамилиях Чегошин, Чегодаев, Чеглов.

Географически фамилия Чегошев (и Чегошева) тяготеет к Вятке, Пермскому краю и Удмуртии. В метрических книгах XIX века носители встречаются среди государственных крестьян и мещан — то есть сословие было невысокое, но свободное. Фамилия не дворянская и не купеческая, что подтверждается отсутствием в родословных книгах.

Если сравнивать с однокоренными: Чегошев — не единственная фамилия с этим корнем. Есть Чегошин (с суффиксом -ин, от основы на -а), Чегодаев (от тюркского «чегодай» — проворный, но это другая этимология). Чегошев стоит особняком именно из-за редкого перехода имени в форму с «ч» — это маркер местного говора, а не ошибка писаря.

Так что если вы Чегошева, ваши предки, скорее всего, жили на севере или востоке европейской России, а фамилия пошла от уменьшительного имени Егош или Чегош — так в деревне звали человека, которого в городе назвали бы Георгием или Евгением.